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3.6 Inequalities on Graphs - 章节总结

图像上的不等式总结：掌握图像位置关系与不等式的对应，学会用数形结合方法解题

## 核心思想与结论

图像位置与不等式关系
核心思想：
函数图像的上下位置关系直接对应不等式的解
  • 曲线在上方：对应 \( > \) 不等式
  • 曲线在下方：对应 \( < \) 不等式
图像交点意义
图像交点是临界点，
决定不等式解的区间分界

交点的横坐标是解集的分界点

## 通用解题步骤

图像不等式解题流程
  1. 联立求交点：解 \( f(x) = g(x) \) 方程，求出交点的横坐标（临界值）
  2. 分析图像形状：观察两个函数图像的相对位置和形状特征
  3. 判断区域范围：确定 \( f(x) \) 在 \( g(x) \) 上方或下方的 \( x \) 范围
  4. 考虑定义域：排除函数无定义的点（如分母为零的点）
  5. 写出解集：用集合符号或区间表示最终解集

## 关键要点回顾

必须掌握的核心要点
  • 图像位置与不等式符号的对应关系（上→>，下→<）
  • 交点横坐标是解集的临界点，决定区间分界
  • 二次函数开口方向影响图像位置（开口向上/向下）
  • 分式函数需注意定义域限制和渐近线行为
  • 数形结合思想：将抽象不等式转化为直观图像问题
  • 转化与化归：复杂问题分解为"求交点 + 区域判断"两步

## 思想方法总结

数形结合思想

将抽象的不等式问题转化为直观的图像位置关系问题。通过观察图像的相对位置，直接得出不等式的解，大大简化了代数运算的复杂度。

转化与化归策略

把复杂的图像不等式问题分解为两个相对简单的子问题：

  1. 求交点（代数问题）
  2. 判断区域（几何问题）

## 常见错误提醒

易错点及防范措施
  • 求交点时计算错误：联立方程时要仔细整理，避免符号错误
  • 混淆图像上下位置：要明确哪个函数在上，哪个在下，对应什么不等式符号
  • 忽略函数定义域：分式函数要排除分母为零的点，双曲线要注意渐近线
  • 二次函数开口方向误判：开口向上还是向下直接影响图像位置判断
  • 临界值区间判断错误：要结合图像形状和交点位置正确判断区间范围

## 适用题型总结

图像不等式常见题型
  • 直线与直线的位置关系分析
  • 二次曲线与直线的位置关系判断
  • 两个二次曲线之间的位置关系比较
  • 分式函数与常数函数的位置关系分析
  • 复合函数图像位置的复杂判断